Binomial Distribution

Що таке біноміальний розподіл?

Біноміальний розподіл - це розподіл ймовірностей, який визначає кількість успіхів у певній кількості незалежних випробувань з однаковими шансами на успіх. Це дискретний розподіл, тобто його можна описати лише для цілих значень випадкової величини.

Біноміальний розподіл визначається двома параметрами: ймовірністю успіху (p) і кількістю випробувань (n). Масова функція ймовірності біноміального розподілу (PMF) вказує на ймовірність виявлення k успіхів у n випробуваннях.

Формула біноміального розподілу:

• P(k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)

де:

• P(X = k) - ймовірність отримати саме k
• n - загальна кількість випробувань
• k - частота успіхів
• (n вибрати k) - біноміальний коефіцієнт, який є кількістю способів вибрати k елементів з набору з n елементів і визначається як (n вибрати k) = n! / (k! * (n-k)!)
• p - ймовірність успіху в кожному випробуванні
• де (n вибрати k) - біноміальний коефіцієнт, що вказує на кількість способів вибрати k предметів з набору з n різних речей

Середнє значення біноміального розподілу задається числом np, а дисперсія - числом np(1-p). При p=0.5 розподіл є симетричним, але він стає все більш асиметричним, коли p наближається до 0 або 1.

Нотація біноміального розподілу використовується в різних статистичних та ймовірнісних програмах, включаючи контроль якості, генетику та прогнозування виборів.

Що таке біноміальна ймовірність?

Можливість отримати задану кількість успіхів у певній кількості незалежних випробувань, кожне з яких має однакову ймовірність успіху, називається біноміальною ймовірністю. Для її обчислення використовується біноміальний розподіл - розподіл ймовірностей, який визначає кількість успіхів у певній кількості незалежних випробувань.

Розглянемо випадок підкидання чесної монети десять разів. Використовуючи біноміальний розподіл, формула біноміальної ймовірності отримання рівно 5 орлів обчислюється наступним чином:

• P(5 голів) = (10 вибрати 5) * (0.5)^5 * (0.5)^(10-5) = 0.24

Це означає, що за умови, що монета чесна, існує 24% біноміальна ймовірність того, що за 10 підкидань монети ми отримаємо саме 5 орлів.

Ймовірність біноміального розподілу використовується в різноманітних статистичних та імовірнісних додатках, включаючи контроль якості, геноміку та прогнозування виборів.

Важливість біноміального розподілу

Біноміальний розподіл є важливим з кількох причин:

• Це базовий розподіл ймовірностей, який зазвичай використовується в статистиці та теорії ймовірностей.
• Обчислює ймовірність досягнення певної кількості успіхів в певній кількості незалежних випробувань, кожне з яких має однакові шанси на успіх.
• Може використовуватися для моделювання різноманітних подій, включаючи кількість бракованих об'єктів у виробничому процесі, кількість осіб, які реагують на маркетингову кампанію, та кількість правильних відповідей на іспиті з множинним вибором.
• Він слугує основою для багатьох інших розподілів, включаючи розподіл Пуассона та нормальний розподіл, які використовуються у більш складних статистичних моделях.
• Він має широкий спектр практичних застосувань, включаючи фінанси, інженерію, біологію та соціальні науки.

Загалом, біноміальний розподіл є корисним інструментом в теорії ймовірностей і статистиці для розуміння і моделювання реальних подій.

Застосування біноміального розподілу

• Спорт- Біноміальний розподіл можна використовувати для визначення шансів команди на перемогу в грі або чемпіонаті залежно від кількості ігор, які їй потрібно виграти, та шансів на перемогу в кожній грі.
• Прогнозування виборів - Соціологи використовують біноміальний розподіл для прогнозування ймовірності перемоги кандидата на виборах на основі кількості людей, які планують проголосувати за нього, та похибки опитування.
• Фінанси - Біноміальний розподіл може описувати ймовірність різних результатів у фінансових інвестиціях, наприклад, ймовірність зростання або зниження ціни на акції.
• Генетика - використовується для представлення ймовірності того, що діти отримають певну характеристику від своїх батьків, враховуючи ймовірність передачі ознаки через кожне покоління.
• Контроль якості - при оцінці відсотка дефектних товарів у партії на основі загальних обсягів виробництва та індивідуальних показників дефектів, біноміальний розподіл є корисним інструментом для контролю якості на виробництві.
• Біологія - Враховуючи загальну довжину послідовності та ймовірність виникнення мутації в кожному місці, біноміальний розподіл можна використовувати для моделювання ймовірності виникнення певної кількості мутацій у послідовності ДНК.