Hyperplane

Гіперплощина в машинному навчанні

У машинному навчанні гіперплощина - це межа рішення, яка ділить вхідний простір на дві або більше областей, кожна з яких відповідає окремому класу або вихідній мітці. У двовимірному просторі гіперплощина - це пряма лінія, яка ділить простір на дві половини. У 3D-просторі, однак, гіперплощина - це площина, яка ділить простір на дві половини. Тим часом у просторах вищої розмірності гіперплощина - це підпростір на один вимір менший, ніж вхідний простір.

Гіперплощини часто використовуються в алгоритмах класифікації, таких як машини опорних векторів (SVM) і лінійна регресія, для розділення точок даних, що належать до різних класів. Вони також використовуються в алгоритмах кластеризації для виявлення кластерів точок даних у вхідному просторі.

Щоб знайти оптимальну гіперплощину для завдання класифікації, алгоритми часто намагаються максимізувати відстань між гіперплощиною і найближчими точками даних з кожного класу. Це пов'язано з тим, що більша відстань зазвичай призводить до більш надійної та узагальнюючої моделі.

Гіперплощини також можна використовувати в задачах регресії, де метою є прогнозування неперервного вихідного значення, а не мітки класу. У цьому випадку гіперплощина являє собою лінію найкращої відповідності, яка мінімізує суму квадратів похибок між прогнозованими значеннями та істинними значеннями.

Загалом, гіперплощини відіграють центральну роль у багатьох алгоритмах машинного навчання і є важливою концепцією, яку необхідно розуміти, щоб ефективно застосовувати ці алгоритми для вирішення реальних проблем.

Рівняння гіперплощини у n-вимірному просторі має вигляд

• w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n + b = 0

де w - вектор ваг, а b - член зсуву. Ваги та зсув визначають орієнтацію та положення гіперплощини у вхідному просторі.

Теорема про розділення гіперплощин

Теорема про розділення гіперплощиною стверджує, що для двох класів точок даних, які лінійно розділяються, існує гіперплощина, яка ідеально розділяє ці два класи. Ця теорема важлива, оскільки вона гарантує існування розв'язку для багатьох алгоритмів класифікації, які мають на меті знайти гіперплощину, що розділяє класи.

Опорний гіперплан

Опорна гіперплощина - це гіперплощина, яка торкається принаймні однієї точки даних з кожного класу. У задачі класифікації двох класів може бути декілька гіперплощин, які розділяють класи, але лише одна з них - гіперплощина з максимальним запасом - має максимальну відстань між гіперплощиною і найближчими точками даних з кожного класу. Ця максимальна відстань називається відстанню. Гіперплощині з максимальним відступом часто надають перевагу, оскільки вона має найбільшу відстань між класами, а отже, менш схильна до надмірної підгонки і більш узагальнююча для невидимих даних.

У машинах опорних векторів (SVM) гіперплощину з максимальним запасом знаходять шляхом розв'язання опуклої оптимізаційної задачі, яка має на меті максимізувати запас, одночасно гарантуючи, що всі точки даних класифіковані правильно. Цю оптимізаційну задачу можна ефективно розв'язати за допомогою таких методів, як алгоритм градієнтного спуску або алгоритм первинно-дуальної оптимізації.

Гіперпланування

Гіперпланування - це процес пошуку гіперплощини в моделі машинного навчання. У задачах класифікації метою гіперпланування є пошук гіперплощини, яка точно розділяє різні класи точок даних у вхідному просторі. У задачах регресії мета полягає в тому, щоб знайти гіперплощину, яка точно прогнозує безперервні вихідні значення на основі вхідних даних.

• Ретельне гіперпланування може допомогти підвищити точність та узагальненість моделі.

Ці алгоритми використовують різні підходи для пошуку оптимальної гіперплощини, такі як мінімізація суми квадратів помилок у лінійній регресії або максимізація відстані між гіперплощиною та найближчими точками даних у SVM.

Гіперпланування є важливим кроком у процесі машинного навчання, оскільки гіперплан визначає, як модель буде класифікувати або прогнозувати вихідні значення для нових точок даних.